Introducedilhaão a Funcedilhaões Elípticas e Integrais
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Maxima inclui suporte a funcedilhaões elípticas Jacobianas e a integrais elípticas completas e incompletas.  Isso inclui manipulacedilhaão simbólica dessas funcedilhaões e avaliacedilhaão numérica também. Definicedilhaões dessas funcedilhaões e muitas de suas propriedades podem ser encontradas em Abramowitz e Stegun, Capítulos 16--17.  Tanto quanto possível, usamos as definicedilhaões e relacedilhaões dadas aí.

Em particular, todas as funcedilhaões elípticas e integrais elípticas usam o parâmetro m em lugar de módulo k ou o ângulo modular \alpha.  Isso é uma área onde discordamos de Abramowitz e Stegun que usam o ângulo modular para as funcedilhaões elípticas.  As seguintes relacedilhaões são verdadeiras: m = k^2 e k = \sin(\alpha)

As funcedilhaões elípticas e integrais elípticas estão primariamente tencionando suportar computacedilhaão simbólica.  Portanto, a maiora das derivadas de funcedilhaões e integrais são conhecidas.  Todavia, se valores em ponto flutuante forem dados, um resultado em ponto flutuante é retornado.

Suporte para a maioria de outras propriedades das funcedilhaões elípticas e integrais elípticas além das derivadas não foram ainda escritas.

Alguns exemplos de funcedilhaões elípticas:

     (%i1) jacobi_sn (u, m);
     (%o1)                    jacobi_sn(u, m)
     (%i2) jacobi_sn (u, 1);
     (%o2)                        tanh(u)
     (%i3) jacobi_sn (u, 0);
     (%o3)                        sin(u)
     (%i4) diff (jacobi_sn (u, m), u);
     (%o4)            jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)
     (%i5) diff (jacobi_sn (u, m), m);
     (%o5) jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)

           elliptic_e(asin(jacobi_sn(u, m)), m)
      (u - ------------------------------------)/(2 m)
                          1 - m

                 2
        jacobi_cn (u, m) jacobi_sn(u, m)
      + --------------------------------
                   2 (1 - m)

Alguns exemplos de integrais elípticas:

     (%i1) elliptic_f (phi, m);
     (%o1)                  elliptic_f(phi, m)
     (%i2) elliptic_f (phi, 0);
     (%o2)                          phi
     (%i3) elliptic_f (phi, 1);
                                    phi   %pi
     (%o3)                  log(tan(--- + ---))
                                     2     4
     (%i4) elliptic_e (phi, 1);
     (%o4)                       sin(phi)
     (%i5) elliptic_e (phi, 0);
     (%o5)                          phi
     (%i6) elliptic_kc (1/2);
                                          1
     (%o6)                    elliptic_kc(-)
                                          2
     (%i7) makegamma (%);
                                      2 1
                                 gamma (-)
                                        4
     (%o7)                      -----------
                                4 sqrt(%pi)
     (%i8) diff (elliptic_f (phi, m), phi);
                                     1
     (%o8)                 ---------------------
                                         2
                           sqrt(1 - m sin (phi))
     (%i9) diff (elliptic_f (phi, m), m);
            elliptic_e(phi, m) - (1 - m) elliptic_f(phi, m)
     (%o9) (-----------------------------------------------
                                   m

                                      cos(phi) sin(phi)
                                  - ---------------------)/(2 (1 - m))
                                                  2
                                    sqrt(1 - m sin (phi))

Suporte a funcedilhaões elípticas e integrais elípticas foi escrito por Raymond Toy.  Foi colocado sob os termos da Licencedilhaã Pública Geral (GPL) que governa a distribuicedilhaão do Maxima.

Definicedilhaões para Funcedilhaões Elípticas
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 -- Função: jacobi_sn (U, M)
     A Funcedilhaão elíptica Jacobiana sn(u,m).

 -- Função: jacobi_cn (U, M)
     A funcedilhaão elíptica Jacobiana cn(u,m).

 -- Função: jacobi_dn (U, M)
     A funcedilhaão elíptica Jacobiana dn(u,m).

 -- Função: jacobi_ns (U, M)
     A funcedilhaão elíptica Jacobiana ns(u,m) = 1/sn(u,m).

 -- Função: jacobi_sc (U, M)
     A funcedilhaão elíptica Jacobiana sc(u,m) = sn(u,m)/cn(u,m).

 -- Função: jacobi_sd (U, M)
     A funcedilhaão elíptica Jacobiana sd(u,m) = sn(u,m)/dn(u,m).

 -- Função: jacobi_nc (U, M)
     A funcedilhaão elíptica Jacobiana nc(u,m) = 1/cn(u,m).

 -- Função: jacobi_cs (U, M)
     A funcedilhaão elíptica Jacobiana cs(u,m) = cn(u,m)/sn(u,m).

 -- Função: jacobi_cd (U, M)
     A funcedilhaão elíptica Jacobiana cd(u,m) = cn(u,m)/dn(u,m).

 -- Função: jacobi_nd (U, M)
     A funcedilhaão elíptica Jacobiana nc(u,m) = 1/cn(u,m).

 -- Função: jacobi_ds (U, M)
     A funcedilhaão elíptica Jacobiana ds(u,m) = dn(u,m)/sn(u,m).

 -- Função: jacobi_dc (U, M)
     A funcedilhaão elíptica Jacobiana dc(u,m) = dn(u,m)/cn(u,m).

 -- Função: inverse_jacobi_sn (U, M)
     A inversa da funcedilhaão elíptica Jacobiana sn(u,m).

 -- Função: inverse_jacobi_cn (U, M)
     A inversa da funcedilhaão elíptica Jacobiana cn(u,m).

 -- Função: inverse_jacobi_dn (U, M)
     A inversa da funcedilhaão elíptica Jacobiana dn(u,m).

 -- Função: inverse_jacobi_ns (U, M)
     A inversa da funcedilhaão elíptica Jacobiana ns(u,m).

 -- Função: inverse_jacobi_sc (U, M)
     A inversa da funcedilhaão elíptica Jacobiana sc(u,m).

 -- Função: inverse_jacobi_sd (U, M)
     A inversa da funcedilhaão elíptica Jacobiana sd(u,m).

 -- Função: inverse_jacobi_nc (U, M)
     A inversa da funcedilhaão elíptica Jacobiana nc(u,m).

 -- Função: inverse_jacobi_cs (U, M)
     A inversa da funcedilhaão elíptica Jacobiana cs(u,m).

 -- Função: inverse_jacobi_cd (U, M)
     A inversa da funcedilhaão elíptica Jacobiana cd(u,m).

 -- Função: inverse_jacobi_nd (U, M)
     A inversa da funcedilhaão elíptica Jacobiana nc(u,m).

 -- Função: inverse_jacobi_ds (U, M)
     A inversa da funcedilhaão elíptica Jacobiana ds(u,m).

 -- Função: inverse_jacobi_dc (U, M)
     A inversa da funcedilhaão elíptica Jacobiana dc(u,m).

Definicedilhaões para Integrais Elípticas
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 -- Função: elliptic_f (PHI, M)
     A integral elíptica incompleta de primeiro tipo, definida como

     integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)

     Veja também elliptic_e e elliptic_kc.

 -- Função: elliptic_e (PHI, M)
     A integral elíptica incompleta de segundo tipo, definida como

     elliptic_e(u, m) = integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi) Veja também elliptic_e e elliptic_ec.

 -- Função: elliptic_eu (U, M)
     A integral elíptica incompleta de segundo tipo, definida como integrate(dn(v,m)^2,v,0,u) = integrate(sqrt(1-m*t^2)/sqrt(1-t^2), t, 0, tau)

     onde tau = sn(u,m)

     Isso é relacionado a elliptic_e através de elliptic_eu(u, m) = elliptic_e(asin(sn(u,m)),m) Veja também elliptic_e.

 -- Função: elliptic_pi (N, PHI, M)
     A integral elíptica incompleta de terceiro tipo, definida como

     integrate(1/(1-n*sin(x)^2)/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)

     Somente a derivada em relacedilhaão a phi é conhecida pelo Maxima.

 -- Função: elliptic_kc (M)
     A integral elíptica completa de primeiro tipo, definida como

     integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)

     Para certos valores de m, o valor da integral é conhecido em termos de funcedilhaões Gama.  Use makegamma para avaliar esse valor.

 -- Função: elliptic_ec (M)
     A integral elíptica completa de segundo tipo, definida como

     integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)

     Para certos valores de m, o valor da integral é conhecido em termos de funcedilhaões Gama.  Use makegamma para avaliar esse valor.